Pengertian dan nilai suku banyak (polinomial)

polinomial adalah persamaan yang memiliki suku banyak dan memiliki pangkat lebih dari satu.

•Penjumlahan, pengurangan dan perkalian  polinomial

Contoh soal: 

Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut

f(x) = 2x3 - x2 + 5x - 10

g(x) = 3x2 - 2x + 8

Tentukan :

a) f(x) + g(x)

b) f(x) - g(x)

c) f(x) x g(x)

Penyelesaian

a) f(x) + g(x) = (2x3 - x2 + 5x - 10) + (3x2 - 2x + 8)

                    = 2x3 - x2 + 3x2 + 5x - 2x - 10 + 8

                    = 2x3 + 2x2 + 3x - 2

b) f(x) + g(x) = (2x3 - x2 + 5x - 10) - (3x2 - 2x + 8)

                     = 2x3 - x2 - 3x2 + 5x + 2x - 10 - 8

                     = 2x3 - 4x2  + 7x - 18

c) f(x) x g(x) = (2x3 - x2 + 5x - 10) × (3x2 - 2x + 8)

              = 2x3(3x2 - 2x + 8) - x2(3x2 - 2x + 8) + 5x(3x2 - 2x + 8) - 10(3x2 - 2x + 8)

              = 2x5 - 4x4 + 16x3 - 3x4 + 2x3 - 8x2  + 15x3 - 10x2 + 40x - 30x2 + 20x - 8
                    = 2x5 - 7x4 + 33x3 - 48x2 + 60x - 80

•Cara distribusi

Contoh soal :
Hitunglah algoritma nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan
f(x) = 2x3 + 4x2 – 18 untuk x = 3
Jawaban:
f(x) = 2x3 + 4x2 – 18
f(3) = 2.33 + 4. 32 – 18
f(3) = 2 . 27 + 4.9 – 18
f(3) = 54 + 36 – 18
f(3) = 72
Maka nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72

• cara horner

Contoh soal :

Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0?

Jawab :

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1   x = 2   x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

•teorema sisa 1

Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).

Dalam penerapanya kita dapat menggunakan cara substitusi atau cara horner.

Contoh 1
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4 + x2  – 16 dibagi (x + 1)

Penyelesaian
f(x) = x4  + x2  -16
f(-1) = (-1)4  + (-1)2  – 16
        = 1 + 1 – 16
        = -14
Jadi, sisa pembagiannya adalah -14

•Teorema sisa 2

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah f(-b/a)

Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema di atas

Contoh 2
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak 2x3  + 7x2  – 5x + 4 dibagi (2x + 1)

Penyelesaian
f(x) = 2x3  + 7x2  – 5x + 4
f(-1/2) = 2(-1/2)3  + 7(-1/2)2  – 5(-1/2) + 4
            = (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4
            = 8
Jadi, sisa pembagiannya adalah 8

•Teorema Sisa 3

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.

Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh 3
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4  + x3  – 2x2  + x + 5 dibagi (x2 + x – 6).

Penyelesaian
Bentuk x2  + x – 6 dapat difaktorkan menjadi
x2  + x – 6 = (x + 3)(x – 2)
Sehingga nilai a = -3 dan b = 2
f(a) = pa + q
(-3)4  + (-3)3  – 2(-3)2  + (-3) + 5 = p(-3) + q
81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q
38 = -3p + q
-3p + q = 38….1)

f(b) = pb + q
(2)4  + (2)3  – 2(2)2  + 2 + 5 = p(2) + q
16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q
23 = 2p + q
2p + q = 23 …..2)

Dengan menggunakan tehnik gabungan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai q
p = -3 dan q = 29
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 2